Merci aux 80 personnes qui ont assisté à l’exposé et en particulier aux élèves de la terminale S du lycée Charlemagne !
Présentation
Il y a deux manières de rencontrer le concept d’infini en mathématiques. La première est l’infini des enfants : lorsqu’ils apprennent à compter, ils comprennent très vite que ce processus ne s’arrête pas ; quand on arrive à un certain nombre, on peut toujours lui rajouter 1 et en obtenir un strictement plus grand, et recommencer l’opération jusqu’à… l’infini ? Ici l’infini est un horizon, le point que l’on atteint si l’on ne s’arrête jamais d’avancer, on s’en approche tout en restant très loin.
La deuxième approche est ensembliste. La notion d’ensemble est la clé de voûte de tout l’édifice mathématique. Quand on manipule des ensembles, il est naturel de vouloir « compter » leurs éléments, de quantifier leur taille. Pour les ensembles de tailles finis c’est facile, mais les ensembles qui ne sont pas finis apparaissent naturellement en mathématiques et même dans la vie de tous les jours (repensez aux enfants apprenant à compter…). Dans cet exposé nous nous intéresserons à ce deuxième infini.
La question à laquelle répond cet exposé est la suivante : existe-t-il plusieurs infinis et peut-on dire qu’un infini est plus gros qu’un autre ? Dans la première partie nous allons expliquer la démarche apportant les outils mathé- matiques nécessaires pour répondre à notre question. Dans la deuxième partie nous allons présenter de manière intuitive ces outils mathématiques. Dans la troisième partie, nous rentrerons dans le vif du sujet en discutant du discret et du continu. Dans la dernière partie, nous montrerons qu’il existe en réalité une infinité d’infinis différents…
Pourquoi cet exposé ?
Dans cet exposé, je vais essayer de montrer l’existence de plusieurs infinis, qui nous sont accessibles avec un formalisme relativement élémentaire mais que nous ne pouvons tout de même pas visualiser…
Ces questions nous pousseront à nous interroger sur la nature profonde des mathématiques en tant que système de propositions logique soi-disant parfait…
