Présentation
Les mathématiques sont connues pour leur rigueur, et on a tendance à penser que leur robustesse est assurée par les raisonnements que les mathématiciens et mathématiciennes font : raisonnements parfaits reposant sur des principes logiques irréfutables.
C’est pour ça que les mathématiques prennent la place de reine des sciences : elles sont éternelles, et immuables : quand on compare par exemple les mathématiques à la physique, on a tendance à penser que les lois physiques ne sont pas des lois absolues : elles auraient pu être différentes ; mais que les lois mathématiques, elles, ne pourraient pas différer d’un univers à l’autre.
Mais les principes mathématiques sont-ils réellement immuables ?
Dans cet exposé, nous allons étudier ce qui se passe en changeant les principes logiques qu’on utilise en mathématiques ; et on verra qu’on n’a même pas besoin d’aller si loin que dans un autre univers pour que changer ces principes ait un sens. Pour ce faire, nous irons aux limites des mathématiques, pour étudier ce qu’est un théorème, une preuve.
Ressources
Sources
La méthode de preuve esquissée dans l’exposé est une adaptation de la sémantique de Kripke, présentée par exemple dans Topoi: the categorial analysis of logic de Goldblatt, au chapitre 8 (pages 189 et suivantes – ce passage étant disponible en ligne gratuitement sur projecteuclid.org par exemple), dans le cas propositionnel. On prendra garde au fait que la présentation de la logique est légèrement différente, mais essentiellement équivalente (dans le cadre plus restrictif de la logique propositionnelle); de même le modèle utilisé dans l’exposé est un cas particulier de la sémantique proposée dans le livre en question, donc présenté différemment pour simplifier. Pour avoir une présentation formelle de la logique plus proche de celle esquissée dans l’exposé, on pourra se rapporter à n’importe quel texte présentant le calcul des séquents et la logique intuitionniste – par exemple la page wikipedia « Logique Intuitionniste ».
